l'angle (CM,Ox): cf dessin.| > |
Licence 2 - TP12 - Problèmes physiques
Exercice 1: Le problème du chien. L'objectif de cet exercice est d'étudier un système différentiel
Soit Oxy un repère fixe dans lequel évoluent un chien et son maître. Le maître repéré par le point M, a quitté l'origine O du repère à l'instant t=0, il suit l'axe Ox à vitesse constante vm. Le chien, repéré par le point C a quitté le point (0,r(0)) à l'instant t=0 et marche en permanence à la vitesse constante vc en direction de son maître. La question est de déterminer à quel instant le chien rencontrera son maître.
Nous noterons dans tout l'exercice r(t) la distance CM et
l'angle (CM,Ox): cf dessin.
Les équations en r et theta qui régissent le mouovement du chien sont:
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On a ainsi un système différentiel d'ordre 1 en r(t) et 
. On cherche une équation en une seule variable en r. Dérivez la première équation par rapport à t, et éliminez les 
grâce à la deuxième équation. Eliminez maintenant le theta graâce à la première équation. Enfin présentez l'équation sous forme polynomiale différentielle en r et 
. Notez s cette dernière expression.
Soit alors T la date de rencontre. L'intégrale de s de t=0 à t=T est nulle aussi. Intégrez termes à termes l'expression s. Pour cela untilisez la fonction map avec int. Dans la nouvelle expression intégrez par partie à l'aide de la fonction intparts l'intégrale en 
. Avant cela tapez assume(T>0) pour indiquer à Maple que T est strictement positif.
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Remplacez alors les diff(r(t),t) à l'aide de la première équation. Et enfin remplacez theta(0) par Pi/2. Donnez enfin l'expression de T en fonction de r(0), vm,vc.
Application numérique: vc=3m/s, vm=1m/s, r(0)=100m.
Tracé: avec les valeurs numériques ci-dessus, tracez la trajectoire du chien. Pour cela utiliser la fonction dsolve(). On exprimera les équations sous la forme : diff(x(t),t)=....et diff(y(t),t)=......
ou x et y représentent les coordonnées du chien dans le plan Oxy.
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