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Licence 2 - TP9 - Problèmes physiques - Equations différentielles

Exercice 1 : (Etude d’un pendule) Nous considérons un pendule dont le mouvement aux petits angles est régi par l’équation différentielle suivante: , où K est une constante de frottement.  Définir cette équation en Maple. On pose C=1 et comme condition initiale w(0)=0,1 (position initiale) et (0)=0 (vitesse initiale). Résoudre l’équation E à l’aide de la commande dsolve et tracer les solutions pour : K=0 ; K=0,1 ; K=0,5 ; K=2.

Exercice 2 : (Equation de Van der Waals) Lorsque la température ou la densité d’un gaz devient élevée, les propriétés du gaz s’éloignent de celles du gaz parfait. L’équation de Van der Waals, contrairement à l’équation des gaz parfaits, permet de comprendre les phénomènes de changement d’état.
(p+a/v^2)*(v-b)=r*t   ou p, v, t représentent respectivement la pression, le volume et la température pour 1 mole de gaz.
a)Le point critique est défini par les équations : = 0. Trouver les coordonnées du point critique pc, vc, tc.  Calculer le facteur de compression au point critique : .
b)Ecrire l’équation d’état réduite, c’est à dire en fonction de , , .
c)Tracer le diagramme tri-dimensionnel de la surface solution de l’équation d’état de Van der Waals.

Exercice 2 : (Ajustement aux moindres carrés) Lorsque des données (x_i,y_i ) , 1<=i <=n proviennent d’expériences, elles sont souvent soumises à des phénomènes parasites provoquant des imprécisions de mesures. Si l’on procède à une interpolation sur ces points par un polynome, cela donne rarement des réponses pertinentes. On cherche dans ce cas à trouver un graphe d’une fonction f:= qui approche au mieux les points (x_i,y_i ) , 1<=i <=n.  On appelle erreur totale suivant les moindres carrés la quantité :   et on cherche les coefficients a et b qui minimisent cette erreur. On peut calculer exactement les coefficients a et b optimaux, via le calcul des moyennes :   ,   ,   on a :  et .  Pour calculer la fonction affine optimale, on charge la bibliothèque stats, puis on utilise la commande fit[leastsquare[[x,y]]]([[1,2,3 ,4],[2,3,-1,1]]) ; On peut également chercher des fonctions polynomiales de degré plus grand approximant les données en minimisant l’erreur des moindres carrés en utilisant : fit[leastsquare[[x,y],y=a*x^2+b*x+c]]([[1,2 ,3 ,4],[2,3,-1,1]]) ;
Ex : Trouver une fonction affine (puis un polynôme de degré 2) approximant (au sens des moindres carrés) le nuage des points Pi  de coordonnées (0,1), (0.1,2), (1,3), (2,5), (1.1,2), (2.1,4), (3,5), (4,7).

Exercice 1 : (Méthode d'Euler) La méthode d'Euler est un calcul approché de la solution d'une équation différentielle du premier ordre pouvant se mettre sous la forme . Le calcul de y(x) se fait pas à pas connaissant la valeur prise par la fonction y en un x_0 initial donné (ici x_0=0). et un intervalle de calcul fixé [0,x_n]. Voici le principe de cette méthode itérative.

Pour un point (x_i,y_i) donné, l'équation nous donne la tangente de la courbe en ce point. On approxime alors la courbe par sa tangente sur un petit intervalle [x_i,x_i+1]. Ainsi la valeur y_i+1 de la fonction y(x) en un point tres proche de x_i+1 est calculée comme étant l'intersection de la tangente en x_i et de la droite d'équation x=x_i+1. Calculer la solution approchée par cette méthode pour les fonctions f(x,y)=sqrt(1-y^2) et g(x,y)=y^2 sur l'intervalle [0,100] et pour 100 points. Comparer vos résultats avec les solutions exactes données par la fonction dsolve().