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Licence 2 - TP6 - Polynômes, fractions rationnelles, interpolation

Exercice: Calculer ou les sont les racines du polynôme . On utilisera la fonction solve() pour trouver les racines de l'équation.

Exercice: On considère la fonction polynôme dont 1 est une racine. Déterminer à quel ordre 1 est racine. En déduire une factorisation par une puissance de pour et dans l'ensemble des réels. On pourra utiliser la syntaxe de boucle :   while condition do instructions od;

Exercice: (Décomposition en éléments simples) Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle 1/P ou P est le polynôme . Reprendre le calcul avec le polynôme .

La commande convert(1/P,parfrac,x) retourne une somme de termes ou il reste des polynômes du second degré en x, irréductibles dans les réels mais pas dans les complexes. Pour la décomposition complexe, on commencera d'abord par déterminer toutes les racines complexes de P, puis on factorise P dans l'ensemble des complexes, et enfin on utilise la commande convert(1/P,parfrac,x).

Exercice: (Interpolation)Le but de cet exercice est d’étudier différentes interpolations de polynômes pour approximer la fonction : .
·        Définir la fonction et tracer son graphe sur [-1,3].
·        Calculer un développement de Taylor à l’ordre 10 au voisinage de 0  (utiliser la fonction Taylor) . Convertir ce polynôme en fonction t(x) (utiliser convert avec l’option polynom pour supprimer le dernier terme ), puis comparer graphiquement t et f sur plusieurs intervalles [-1,1] (y=[-2,2]).Que se passe-t-il sur [-5,5] ?
·        Générer un ensemble En de N=5 points régulièrement répartis sur l’intervalle [1/3,5/3] et un ensemble Fn des images de ces points par f .
·        Calculer le polynôme p d’interpolation associé à En et à Fn (utiliser la fonction interp(En,Fn,x)).
·        Tracer les graphes de p et f sur [-1,3].
·        Faire le même travaille avec N=10,N=20 (on pourra faire une procédure).

Exercice: Soit a,b,c les zéros distincts ou confondus de . Calculer pour n donné a^n+b^n+c^n en fonction de p et q. Indications: utiliser la fonction solve() pour trouver les racines. appliquer alors la transformation u->u^n à la suite des racines , convertir la liste obtenue en somme