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Licence 2 - TP3-TP4 - Courbes et surfaces

1) Dans le plan : graphes y=f(x)

> E:=7*sin(x)+sin(7*x):plot(E,x=-1..10);

> f:=t->(t-1)^3+t/10000:plot(f(t),t=0..3);

> plot(f(a),a=5/10..15/10);plot(f,0..2);

> plot(E,t=-1..10);plot(E,-1..10);

> plot(f,0.9..1.1,0..1/5000);plot(E,x=3..4,y=-3...-2.8);

Remarque: y est juste un label qui apparait sur le graphique. On peut le remplacer par une autre variable.

Exercice: Représenter le polynomùe p(x) = 315*x^4-234*x^3-29*x^2+36*x-6 entre -2 et 2. En déduire le nombre de solutions de p(x)=0 et de p(x)=-2.

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On peut représenter des fonctions avec des discontinuités, ou définies par morceaux.

> f:=x->piecewise(x<1,x^2,x>=1,1+1/x):plot(f,-1..2,0..3);plot(f,-1..2,0..3,discont=true);

> g:=x->if x<-1 then -sqrt(-(1+x)) else if x<1 then sqrt(1-x^2) else Pi-arccos(x-2) fi fi:

> plot(g,-3..3,-3..2,scaling=constrained);

"constrained" impose un repère orthonormé

Exercice: Représentez les fonctions suivantes:

f(x) = 1/(x-1)   sur -2..2        f(x)=tan(x)  sur -2pi..2pi     f(x) = 1+exp(-1/sqrt(x)) si x>0 et 1 sinon sur -100..5000 puis sur -1/10..1/10

f(x)=(E(x))^3+(x-E(x))(3(E(x))^2+3E(x)+1) sur -4..4

Tracé simultanés: On peut représenter plusieurs fonctions sur un même graphique au moyen d'une liste.

> f:=piecewise(x<0,cos(x),x>=0,1+x^2):df:=dif(f,x):ddf:=diff(f,x,x):

> plot([f,df,ddf],x=-2..2,discont=true,color=[red,green,navy]);

> f:=p->2*arctan(p^2*x)/Pi;plot([seq(f(p),p=1..7)],x=-6..6,y=-2..2,color=blue);

Exercice: Tracez la famille de courbes y = e^(-(n*x)^2) pour n=1..7. Quelle est alors la courbe limite lorsque n tennd vers l'infini.

                Tracez la courbe y=cos(x) et la famille de courbes y = sum((-x^2)^k/factorial(2*k), k = 0 .. n) pour n=1..5 pour x dans -4pi..4pi et y dans -9..9 avec un repère orthonormé, et des couleurs différentes pour chaque courbe.

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Dans le plan : arcs paramétrés

En coordonnées cartésiennes, un graphe y=f(x) est alors représenté par l'arc paramétré x=t et y=f(t)

> f:=t->7*sin(t)+sin(7*t):plot([t,f(t),t=-1..10]);plot([t,f(t)],t=-1..10);

> plot([2*sint(t),cos(t),t=0..2*Pi],abs=-2..2,ord=-2..2);

Courbes simultanées: Cycloide: trajectoire de la valve sur une roue de vélo

> plot([[t+cos(t),2-sin(t),t=0..15],[t,1,t=-1..15],[cos(u),2+sin(u),u=-Pi..Pi],[Pi+cos(u),2+sin(u),u=-Pi..Pi],[5*Pi/2+cos(u),2+sin(u),u=-Pi..Pi],[13+cos(u),2+sin(u),u=-Pi..Pi]],axes=NONE,view=[-1..15,0..3],scaling=constrained,color=[red,black,blue,blue,blue,blue]);

Exercice: Représenter su un même graphique les courbes z(t) = a(t+3*i)+e^(-2*i*t) pour a=1,2,3 dans un repère orthonormé lorsque

t appartient à -10..10, et dans la fenêtre [-10,10]x[2,10].

Représenter des figures de Lessajous: x=cos(nt), y=cos(m*(t-a)) en faisant varier m, n et a comme suit : (m,n,a)=(3,2,0) ou (3,2,1) ou (4,3,0) ou (4,3,1/2) ou (sqrt(2),3,0)

Représenter sur un même graphique la trochoide e^it*(1+a*e^(5*i*t)) , le cercle e^(i*t) , le cercle 1+a*e^(i*t) pour a=1/6 (hypocycloide) puis a=1/3 (hypocycloide allongée), a=1/9 (hypocycloide raccourcie), a=-1/6 (épicycloide), a=-1/3 (épicycloide allongée), a=-1/9 (épicycloide raccoucie)

En coordonnées polaires, r = f(theta)

> plot(1/(1.5+cos(t)),t=0..2*Pi,coords=polar,scaling=constrained);

> plot(1/(0.5+cos(t)),t=0..2*Pi,coords=polar,scaling=constrained,view=[-1..3,-2..2]);

Exercice: Représenter la courbe r = theta/(Pi-theta) pour theta dans -20..20 et dans la fenêtre [-6,6]x[-2,4]. Représenter la courbe r = sin(2*theta/3) .

Représenter simultanément la famille de courbes r = a/4+sin(theta) pour a=0..6.

Représenter les courbes r = 2+cos(t-1) et theta = t+sin(10*t)/5 et le cercle de rayon 1.(Utiliser plot([r(t), theta(t), t = a .. b]) )

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Dans l'espace : En coordonnées cartésiennes

Paraboloide x^2-y^2-z = 0 . plot((x^2-y^2)/5, x = -5 .. 5, y = -5 .. 5, axes = framed, view = -6 .. 5, scaling = constrained)

Hyperboloide à deux nappes x^2+y^2-z^2 = -1

> plot3d([sqrt(x^2+y^2+1),-sqrt(x^2+y^2+1)],x=-2..2,y=-2..2,axes=framed,scaling=constrained);

Représentation d'une nappe paramétrée en coordonnées cartésiennes: le tore x = (1+cos(u))*cos(v) , y = (1+cos(u))*sin(v) , z = sin(u)

> plot3d([(2+cos(u))*cos(v),(1+cos(u))*sin(v),sin(u)],u=0..2*Pi,v=0..2*Pi,axes=none,scaling=constrained);

Exercice: Représenter le paraboloidez = x^3+3*y^2 dans un repère orthonormé. Représenter la nappe paramétrée x = u*sin(u)*cos(v) et y = u*cos(u)*cos(v) , z = u*sin(v) pour u et v dans [0, 2*Pi]

En coordonnées cylindriques et sphériques: l'hyperboloide à une nappe r = sqrt(z^2+1) puis r = (4/3)^theta*sin(phi)

> plot3d(sqrt(z^2+1),t=0..2*Pi,z=-2..2,coords=cylindrical,scaling=constrained);

> plot3d((4/3)^theta*sin(phi),theta=-1..2*Pi,phi=0..2*Pi,coords=spherical);

E

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Exercice: Représenter le ruban de Moebius r(theta, v) = 2-v*sin(Pi/4+theta/2) ,  z(theta, v) = v*cos(theta/2) en coordonnées cylindiques en représentation paramétriques. Représenter la sphère centrée à l'origine de rayon 1 en coordonnées sphériques.